基尔霍夫板矩形四节点单元(PBK4I)格式

承接前文,本文给出形如以下单元的单元格式,PBK4I意为板弯曲-四节点-Kirchhoff假设-非协调单元

定义挠度w为基本变量,每个节点具有三个自由度:.分别对应于节点的挠度和转角,则单元自由度数为12.定义挠度的分布函数为:

其中为未知系数.

转角如下:

单元的形函数满足:

其中N为1x12的矩阵,为单元自由度向量,大小为12x1

形函数的具体形式:

进一步可求曲率和扭曲率向量(地位等同应变):

因此,应变矩阵B形式如下:

进一步,合力距M为:

根据单元势能表达式有:

根据最小势能原理,静力学单元方程为:

其中,为单元等效节点力,单元刚度矩阵,大小分别为12x1,12x12.

• 说明

这个单元是完备的,连续的,但是不协调的.不满足单元收敛性准则但它是有效的.属于非协调单元.也正因如此,这个单元难以扩展为一般性四边形单元.

另一个比较简单的单元是三角形单元,同样基于Kirchhoff假设,节点自由度与这个单元相同

在Kirchhoff假设下,有多种实现单元协调性的办法,如保持挠度插值次数,将扭率加入节点变量;提高插值次数,将扭/曲率加入节点自由度等等.但都会遇到边界条件处理和凝聚内部自由度的问题.

后续讨论这些问题.